Geordneter Körper

Dieser Text beschreibt Geordneter Körper.

In der Mathematik ist ein geordneter Körper ein Körper (K,+,*) mit einer totalen Ordnung <=, die verträglich ist mit den Körperoperationen, d.h.

• aus a <= b folgt a + c <= b + c
• aus 0 <= a und 0 <= b folgt 0 <= ab

für alle a,b,c aus K. Diese Verträglichkeitsforderungen werden auch Anordnungsaxiome genannt.

Elemente, die größer sind als 0 heißen positiv, Elemente kleiner als 0 heißen negativ.

Aus den Axiomen folgen unter anderem dieses Merkmalen (für alle a, b, c, d aus K):

• Das Negative eines positiven Elements ist negativ und das Negative eines negativen Elements ist positiv: Für jedes a aus K gilt entweder a = 0 oder -a < 0 < a oder a < 0 < -a.
• Man darf Ungleichungen addieren: Aus a <= b und c <= d folgt a + c <= b + d.
• Man darf Ungleichungen mit positiven Elementen multiplizieren: Aus a <= b und 0 <= c folgt ac <= bc.
• Quadratzahlen sind nichtnegativ: 0 <= a². Insbesondere ist 0 < 1.
• Mit Induktion kann man folgern, dass jede endliche Summe von Einsen positiv ist: 0 < 1+1+...+1. Daraus folgt wiederum, dass die Charakteristik von K gleich 0 ist.

Jeder Teilkörper eines angeordneten Körpers ist angeordnet. Wie für jeden Körper der Charakteristik 0 ist der kleinste enthaltene Körper isomorph zu den rationalen Zahlen, und die Ordnung auf diesem Teilkörper ist dieselbe wie die natürliche Anordnung auf Q.

Wenn jedes Element eines angeordneten Körpers zwischen zwei rationalen Zahlen liegt, dann heißt der Körper archimedisch (wenn es also zu jedem Element eine größere und eine kleinere rationale Zahl gibt). Zu dem Beispiel sind die reellen Zahlen archimedisch, jedoch sind die hyperreellen Zahlen nicht-archimedisch.

Bezüglich der von der Ordnung auf K induzierten Topologie sind die Operationen + und * stetig. (Die Topologie wird erzeugt von den offenen Intervallen {c | c < a} und {c | c > a} für alle a.)

Beispiele angeordneter Körper sind die folgenden:

• rationale Zahlen
• reelle Zahlen (und alle Teilkörper davon)
• hyperreelle Zahlen

Die surrealen Zahlen bilden zwar eine echte Klasse und keine Menge, erfüllen aber ansonsten alle Axiome eines angeordneten Körpers. Jeder angeordnete Körper kann in die surrealen Zahlen eingebettet werden.

Endliche Körper können nicht angeordnet werden, da ihre Charakteristik nicht 0 ist. Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden, da sie mit i eine Wurzel von -1 enthalten (-1 wäre als Quadratzahl positiv, es gilt aber -1 <= 0 <= 1). Die p-adischen Zahlen können nicht angeordnet werden, da sie für p>2 eine Quadratwurzel von 1-p und für p=2 eine Quadratwurzel von -7 enthalten.